【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+x﹣16,
(1)求曲線y=f(x)在點(2,﹣6)處的切線的方程.
(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=﹣ x+3垂直,求切點坐標與切線的方程.
【答案】
(1)解:∵f(2)=23+2﹣16=﹣6,∴點(2,﹣6)在曲線上.
∵f′(x)=(x3+x﹣16)′=3x2+1,
∴在點(2,﹣6)處的切線的斜率為k=f′(2)=3×22+1=13.
∴切線的方程為y=13(x﹣2)+(﹣6),即y=13x﹣32
(2)解:∵切線與直線y=﹣ +3垂直,
∴斜率k=4,∴設(shè)切點為(x0,y0),
則f′(x0)=3x +1=4,
∴x0=±1,
x0=1時,y0=﹣14;x0=﹣1,y0=﹣18,
即切點坐標為(1,﹣14)或(﹣1,﹣18).
切線方程為y=4(x﹣1)﹣14或y=4(x+1)﹣18.
即y=4x﹣18或y=4x﹣14
【解析】(1)確定點(2,﹣6)在曲線上,求導函數(shù),可得切線斜率,從而可得切線方程;(2)利用曲線y=f(x)的某一切線與直線y=﹣ x+3垂直,可得斜率的積為﹣1,從而可求切點坐標與切線的方程.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 (a>b>0)的右焦點F(1,0),離心率為 ,過F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)AB,CD的中點分別為M,N.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:直線MN必過定點,并求出此定點坐標;
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求△FMN面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠有100名工人接受了生產(chǎn)1000臺某產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù),每臺產(chǎn)品由9個甲型裝置和3個乙型裝置配套組成,每個工人每小時能加工完成1個甲型裝置或3個乙型裝置.現(xiàn)將工人分成兩組分別加工甲型和乙型裝置.設(shè)加工甲型裝置的工人有x人,他們加工完甲型裝置所需時間為t1小時,其余工人加工完乙型裝置所需時間為t2小時.
設(shè)f(x)=t1+t2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式,并寫出其定義域;
(Ⅱ)當x等于多少時,f(x)取得最小值?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知如圖:平行四邊形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直,G,H分別是DF,BE的中點.
(1)求證:GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4 ,求四棱錐F﹣ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中點,求證:
(Ⅰ)平面AB1E⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)A1C//平面AB1E.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=aln x+ (a>0).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若對任意的x>0,恒有ax(2-ln x)≤1,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值為0?若存在,試求出a的值;若不存在,請說明理由.
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