Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N₊）
（1）求a₁，a₂；
（2）若b_n=n（2-n）（a_n-1），求b_n的最大項，并寫出取最大項的項數(shù)．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N₊），可得a₁=1-a₁，a₁+a₂=2-a₂，解得a₁，a₂．
（2）由數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N₊），n≥2時，a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=n-1-a_n-1，相減可得：a_n-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1-1），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出a_n-1，可得b_n=n（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，作差b_n+1-b_n即可得出b_n的最大項．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N₊）
∴a₁=1-a₁，a₁+a₂=2-a₂，
解得a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{3}{4}$．
（2）由數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N₊），
n≥2時，a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=n-1-a_n-1，
相減可得：a_n=1-a_n+a_n-1，
可得：a_n-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$，首項為：$-\frac{1}{2}$．
∴a_n-1=$-（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=n（2-n）（a_n-1）=n（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
b_n+1-b_n=（n+1）（n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n+1}$-n（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$=$\frac{-（{n}^{2}-4n+1）}{{2}^{n+1}}$＞0，解得$2-\sqrt{3}$＜n＜2+$\sqrt{3}$．
∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞…＞b_n．
∴n=4時，b_n取得最大項，b₄=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、不等式的性質(zhì)、方程的解法、作差法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．