Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，
（1）求證：AD∥面D₁BC；
（2）證明：AC⊥BD₁；
（3）求三棱錐D₁-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）由長方體的幾何特征可得AD∥BC，進(jìn)而由線面平行的判定定理可得AD∥面D₁BC；
（2）根據(jù)正方形的對角線互相垂直及長方體的幾何特征結(jié)合線面垂直的定義，可得AC⊥BD，AC⊥BD₁，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDD₁，進(jìn)而由線面垂直的定義得到AC⊥BD₁；
（3）由已知中長方體的長寬高，結(jié)合（2）中DD₁⊥底面ABCD，即DD₁為棱錐的高，代入棱錐體積公式，可求三棱錐D₁-ABC的體積．

解答：證明：（1）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC
又∵AD?D₁BC，BC?D₁BC
∴AD∥面D₁BC；
（2）連接BD交AC于O，
由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC
可得底面ABCD為正方形
故AC⊥BD
又∵DD₁⊥底面ABCD，AC?底面ABCD
∴DD₁⊥AC
又∵BD∩DD₁=D，BD，DD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，
又∵BD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁；
（3）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，
∴S_△ABC=

1

2

×1×1=

1

2

由（2）中DD₁⊥底面ABCD，
∴三棱錐D₁-ABC的體積V=

1

3

×S_△ABC×DD₁=

1

3

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是線面平行的判定定理，線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積，熟練掌握長方體的幾何特征及空間線面關(guān)系的判定定理是解答的關(guān)鍵．