Question

已知函數(shù)f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）若設(shè)t=2^x-2^-x，求出t的取值范圍（只需直接寫(xiě)出結(jié)果，不需論證過(guò)程）；并把f（x）表示為t的函數(shù)g（t）；
（2）求f（x）的最小值；
（3）關(guān)于x的方程f（x）=2a²有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）展開(kāi)，換元，代入可得函數(shù)解析式；
（2）利用配方法，分類(lèi)討論，可求f（x）的最小值；
（3）方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，分離參數(shù)，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答：解：（1）f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2
令t=2^x-2^-x，x∈[-1，1]，∴t∈[-

3

2

，

3

2

]…（2分）
f（x）表示為t的函數(shù)g（t）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2…（5分）
（2）g（t）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2，t∈[-

3

2

，

3

2

]
當(dāng)a＜-

3

2

時(shí)，f(x)min=g(-

3

2

)=2a2+3a+

17

4

當(dāng)-

3

2

≤a≤

3

2

時(shí)，f(x)min=g(a)=a2+2
當(dāng)a＞

3

2

時(shí)，f(x)min=g(

3

2

)=2a2-3a+

17

4

，
∴f(x)min=

2a2+3a+ 17 4 ，a＜- 3 2 a2+2，- 3 2 ≤a≤ 3 2 2a2-3a+ 7 4 ，a＞ 3 2

…（11分）
（3）方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，而t≠0
∴2a=t+

2

t

，…（12分）
令y=t+

2

t

，則y′=1-

2

t2

，∴函數(shù)在(0，

2

)上單調(diào)遞減，(

2

，

3

2

)上單調(diào)遞增…（13分）
∴t+

2

t

≥2

2

，…（14分）
又y=t+

2

t

為奇函數(shù)，∴當(dāng)t∈(-

3

2

，0)時(shí)t+

2

t

≤-2

2

…（15分）
∴a的取值范圍是(-∞，

2

]∪[

2

，+∞)．   …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．