Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長(zhǎng)1正四棱柱，O₁為A₁C₁與B₁D₁的交點(diǎn)．
（1）設(shè)AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成的角為arctan

2

2

，求該棱柱的側(cè)面積；
（2）（理）若點(diǎn)C到平面AB₁D₁的距離為

4

3

，求四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．
（3）（文）設(shè)高AA₁=2，求四面體AB₁D₁C的體積．

Answer 1

分析：（1）由題意，ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，則AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成角即為∠AB₁A₁，則AB₁的長(zhǎng)度可求，進(jìn)而可求該棱柱的側(cè)面積；
（2）由圖形借助面面垂直找到點(diǎn)C在平面AB₁D₁的位置，利用三角形的相似解出．
（3）由高AA₁=2，ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，則可得三棱錐A-A₁B₁D₁的體積，而四面體AB₁D₁C的體積為正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積減去四個(gè)三棱錐A-A₁B₁D₁的體積，故四面體AB₁D₁C的體積可求．

解答：解：（1）由于ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長(zhǎng)1正四棱柱，則AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成的角為∠AB₁A₁，
又由AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成的角為arctan

2

2

，則tan∠AB1A1=

AA1

A1B1

=

2

2

，故AA1=

2

2

則該棱柱的側(cè)面積為4×1×

2

2

=2

2

．
（2）∵O₁為B₁D₁的中點(diǎn)，而△AB₁D₁是以B₁D₁為底邊的等腰三角形，
∴AO₁⊥B₁D₁∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁且交線(xiàn)為AO₁，
∴點(diǎn)C到平面AB₁D₁的投影點(diǎn)必落在A0₁上即垂足H，
在矩形AA₁C₁C中，利用R_t△AA₁O₁∽R(shí)_t△CHA 得到

A1O1

AA1

=

AH

CH

而AH =

AC2-CH2

=

2-( 4 3 )2

∴

A1O1

AA1

=

AH

CH

?

2 2

AA1

=

2 3

4 3

，則AA₁=2，
故正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=1×1×2=2．
（3）由于ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，高AA₁=2，
則三棱錐A-A₁B₁D₁的體積為

1

3

×

1

2

×A1B1×A1D1×AA1=

1

3

，
又由四面體AB₁D₁C的體積為正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積減去四個(gè)三棱錐A-A₁B₁D₁的體積
則四面體AB₁D₁C的體積為2×1×1-4×

1

3

=

2

3

，
故四面體AB₁D₁C的體積為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線(xiàn)面關(guān)系、線(xiàn)面角的度量、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力