Question

已知4個(gè)命題：
①若等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n則三點(diǎn)（10，

S10

10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

），共線(xiàn)；
②命題：“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；
③若函數(shù)f（x）=x-

1

x

+k在（0，1）沒(méi)有零點(diǎn)，則k的取值范圍是k≥2，
④f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f′（x）＞0，且f（2）=

1

2

，則xf（x）＜1的解集為（-2，2）．
其中正確的是

 

．

Answer 1

分析：利用三點(diǎn)連線(xiàn)的斜率關(guān)系判定①的正誤；
直接寫(xiě)出命題的否命題即可判定②的正誤；
利用函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)存在定理判定③的正誤；
通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及函數(shù)的性質(zhì)，求出不等式的解集，判定④的正誤，即可得到結(jié)論．

解答：解：①

S10

10

=

a1+a10

2

，

S100

100

=

a1+a100

2

，

S110

110

=

a1+a110

2

，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
∴

S100 100 - S10 10

100-10

=

a110-a10

2×90

=

d

2

，

S110 110 - S100 100

110-100

=

a110-a100 2

10

=

d

2

，
即 前兩個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)的斜率等于后兩個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，故三點(diǎn)共線(xiàn)，故①正確．
②根據(jù)命題的否定的定義，“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”；是正確的，故②正確．
③函數(shù)f（x）=x-

1

x

+k在（0，1）沒(méi)有零點(diǎn)，故f′（x）=1+

1

x2

＞0，所以函數(shù)在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，x-

1

x

＜0，當(dāng)k≥2時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，③不正確．
④f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f′（x）＞0，且f（2）=

1

2

，所以x＞0時(shí)，函數(shù)是恒為正值，f（0）=0，x＜0時(shí)函數(shù)為負(fù)值，2f（2）=1，則xf（x）＜1的解集為（-2，2）．正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題是綜合題，考查三點(diǎn)共線(xiàn)，命題的否定，零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)與不等式的知識(shí)，考查知識(shí)的靈活運(yùn)應(yīng)，是中檔題．