Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），g（x）=2x²-4x-16，且|f（x）|≤|g（x）|對(duì)x∈R恒成立．
（1）求a、b的值；
（2）若對(duì)x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）記h（x）=-f（x）-4，那么當(dāng)k時(shí)，是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得函數(shù)h（x）在區(qū)間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請(qǐng)求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由g（x）=0，解得x=-2或4，
∵|f（x）|≤|g（x）|對(duì)x∈R恒成立，
∴必有，解得，
此時(shí)滿足|f（x）|≤|g（x）|．
∴a=-2，b=-8．
（2）由（1）可知：f（x）=x²-2x-8，
∵對(duì)x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴對(duì)x＞2恒成立．
記u（x）===2，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào)．
∴m≤[u（x）]_min=2．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2]．
（3）∵，∴．
∴，
又∵，∴．
∴[m，n]⊆（-∞，1]，
∴h（x）在[m，n]上是增函數(shù)．
∴，即．
解得．
又∵，m＜n，
因此：①當(dāng)時(shí)，[m，n]=[0，2-2k]；
②當(dāng)k＞1時(shí)，[m，n]=[2-2k，0]；
③當(dāng)k=1時(shí)，[m，n]不存在．
分析：（1）由g（x）=0，解得x=-2或4，要使|f（x）|≤|g（x）|對(duì)x∈R恒成立，必有，解出即可；
（2）對(duì)x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立?對(duì)x＞2恒成立，利用基本不等式求得右邊的最小值即可．
（3）利用二次函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)k分類討論即可得出．
點(diǎn)評(píng)：把恒成立問(wèn)題正確等價(jià)轉(zhuǎn)化，熟練掌握二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．