Question

已知底面是正方形的四棱錐P-ABCD，PC⊥底面ABCD，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若E為PC的中點(diǎn)，求證：PA∥面BDE；
（2）證明：不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC∩BD=O，可得EO∥PA，再利用直線(xiàn)和平面平行的判定定理證得PA∥面BDE．
（2）由PC⊥底面ABCD，可得BD⊥PC；由 底面ABCD是正方形，可得BD⊥AC，利用直線(xiàn)和平面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，從而證得BD⊥AE．

解答： （1）證明：底面是正方形的四棱錐P-ABCD，PC⊥底面ABCD，設(shè)AC∩BD=O，則O為AC的中點(diǎn)．
再根據(jù)E為PC的中點(diǎn)，可得EO∥PA．
∵PA?面BDE，EO?面BDE，∴PA∥面BDE．
（2）證明：由PC⊥底面ABCD，可得BD⊥PC；∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
再根據(jù) AC∩PC=C，可得BD⊥平面PAC．
而AE?平面PAC，∴BD⊥AE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和平面平行的判定定理，直線(xiàn)和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．