Question

下列說法正確的個數(shù)是（　　）
①命題“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x₀³-x₀²+1＞0”；
②“b=

ac

”是“三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列”的充要條件；
⑨“m=-1”是“直線mx+（2m-1）y+1=0和直線3x+my+2=0垂直”的充要條件：
④“復數(shù)Z=a+bi（a，b∈R）是純虛數(shù)的充要條件是a=0”是真命題．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①利用命題的否定即可判斷出．
②“b=±

ac

”是“三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列”的充要條件，即可判斷出；
⑨對m分類討論：m=0，

1

2

與當m≠0，

1

2

時，即可判斷出；
④“復數(shù)Z=a+bi（a，b∈R）是純虛數(shù)的充要條件是a=0，b≠0”，即可判斷出．

解答： 解：①命題“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x₀∈R，x₀³-x₀²+1＞0”，正確；
②“b=±

ac

”是“三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列”的充要條件，因此②不正確；
⑨直線mx+（2m-1）y+1=0和直線3x+my+2=0．當m=0時，兩條直線分別化為-y+1=0，3x+2=0，此時兩條直線垂直；
當m=

1

2

時，兩條直線分別化為

1

2

x+1=0，3x+

1

2

y+2=0，此時兩條直線不垂直；
當m≠0，

1

2

時，兩條直線的斜率分別為：

-m

2m-1

，-

3

m

，若兩條直線垂直，則

-m

2m-1

•（-

3

m

）=-1，解得m=-1；
∴“m=-1”是“直線mx+（2m-1）y+1=0和直線3x+my+2=0垂直”的充分不必要條件，不正確：
④“復數(shù)Z=a+bi（a，b∈R）是純虛數(shù)的充要條件是a=0，b≠0”，因此是假命題．
綜上可得：只有①是真命題．
故選：A．

點評：本題考查了簡易邏輯的有關知識、相互垂直的直線與斜率之間的關系、分類討論的思想方法、復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．