Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，a₂²=a₁•a₄，設(shè)數(shù)列{22-an}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）解不等式：

Sn-am

Sn+1-am

＜

1

2

，求正整數(shù)m，n的值；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b_n+1=b_n²-a_n•b_n+1，求證：

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜

2

5

．

Answer 1

分析：（1）由已知，可求出a_n=n，從而不等式化為

4- 4 2n - m

4- 4 2n+1 - m

＜

1

2

，整理為4-

4

2n+1

＞m＞4-

12

2n+1

，得出m=2，n=1
（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明b_n＞n+2，由此b_k+1=b_k²-k•b_k+1=b_k（b_k-k）+1＞2b_k+1，兩邊同時(shí)加上1，并整理得1+b_k+1＞2（1+b_k ），得出1+b_n＞2（1+b^n-1）＞2²（1-b_n-2）＞…＞2^n-1（1+b₁）=5•2^n-1，得出

1

1+ bn

^＜

1

5

^×（

1

2

^）n-1，對(duì)不等式的右邊各項(xiàng)放縮，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式，計(jì)算化簡，可以證明．

解答：解：（1）由題意，∵a₂²=a₁•a₄，
∴（1+d）²=1+3d，∴d=1
∴a_n=n，22-an=22-n
∴Sn=4-

1

2n

∵

Sn-am

Sn+1-am

＜

1

2

∴

4- 4 2n - m

4- 4 2n+1 - m

＜

1

2

∴4-

4

2n+1

＞m＞4-

12

2n+1

∴m=2，n=1；
（2）先用數(shù)學(xué)歸納法證明b_n＞n+2
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=4＞1+2，不等式成立．
假設(shè)n=k（k∈N，k≥1）時(shí)，不等式成立，即b_k＞k+2．則當(dāng)n=k+1時(shí)，b_k+1=b_k²-k•b_k+1=b_k（b_k-k）+1＞（k+2）×2+1=2k+5＞（k+1）+2，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
所以對(duì)于任意正整數(shù)n均有b_n＞n+2
 由此b_k+1=b_k²-k•b_k+1=b_k（b_k-k）+1＞2b_k+1，兩邊同時(shí)加上1，并整理得1+b_k+1＞2（1+b_k ），∴1+b_n＞2（1+b^n-1）＞2²（1-b_n-2）＞…＞2^n-1（1+b₁）=5•2^n-1，

1

1+ bn

^＜

1

5

^×（

1

2

^）n-1，
∴

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜

1

5

（1+

1

2

+

1

4

+

1

2n-1

）=

1

5

×

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=

2

5

[1-(

1

2

)n]＜

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，放縮法證明不等式，考查分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．