Question

（本小題滿分14分）已知圓：及定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，
且滿足＝2，·＝.
（1）若，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）若動(dòng)圓和（1）中所求軌跡相交于不同兩點(diǎn)，是否存在一組正實(shí)數(shù)，使得直線垂直平分線段，若存在，求出這組正實(shí)數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1） 
∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，
又，
或點(diǎn)與點(diǎn)重合．
∴           …………2分
又
∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，
且，
∴ 
∴G的軌跡方程是   …………6分
(2)解：不存在這樣一組正實(shí)數(shù)，
下面證明：                        …………7分
由題意，若存在這樣的一組正實(shí)數(shù)，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)之為，
故直線的方程為：，
設(shè)，中點(diǎn)，
則，兩式相減得：
．…………9分
注意到，
且 ，
則 ，     ②
又點(diǎn)在直線上，
，
代入②式得：．
因?yàn)橄?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174040506235.gif" style="vertical-align:middle;" />的中點(diǎn)在⑴所給橢圓內(nèi)，
故，
這與矛盾，
所以所求這組正實(shí)數(shù)不存在．                 …………13分
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，
直線的方程為，
則此時(shí)，
代入①式得，
這與是不同兩點(diǎn)矛盾.
綜上，所求的這組正實(shí)數(shù)不存在．       …………14分

略