Question

16．正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），設(shè)c_n=（-1）ⁿ$\frac{{2{a_n}+1}}{{2{S_n}}}$，則數(shù)列{c_n}的前2017項的和為-$\frac{2019}{2018}$．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1判斷{a_n}為等差數(shù)列，得出{a_n}的通項公式，從而得出c_n的通項公式，使用列項法求和．

解答 解：當(dāng)n=1時，2a₁=a₁²+a₁，∴a₁=1或a₁=0（舍）．
當(dāng)n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
∴a_n+a_n-1=a${\;}_{{n}^{\;}}$²-a_n-1²=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=n，2S_n=n²+n．
∴c_n=（-1）ⁿ$•\frac{2n+1}{{n}^{2}+n}$=（-1）ⁿ（$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$）．
設(shè)c_n的前n項和為T_n，
則T₂₀₁₇=-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$+…-$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=-1-$\frac{1}{2018}$=-$\frac{2019}{2018}$．
故答案為：$-\frac{2019}{2018}$．

點評 本題考查了等差關(guān)系的判定，等差數(shù)列的通項公式及裂項求和，屬于中檔題．