Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明:．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)，令，分，兩種情況討論求解.

（2）由（1）得到， 求導(dǎo)，根據(jù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則有，可得，則，要證，即證：，轉(zhuǎn)化為 ，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性求解.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)，

所以，

令，

當(dāng)，即時(shí)，，在上是增函數(shù)，

當(dāng)，即時(shí)，令，解得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

（2）因?yàn)?/span>，

所以，

因?yàn)?/span>在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，

所以，

所以，

不妨設(shè)，

要證，

即證：，

即證：，

即證：，

令，

所以，

令，

所以在成立，

所以在在上是增函數(shù)，

所以，

所以在成立，

所以在上是增函數(shù)，

所以.

所以原不等式成立.