Question

設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）若函數(shù)有兩個零點、，且，求證：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）先求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，并對導(dǎo)數(shù)進(jìn)行因式分解，然后對導(dǎo)數(shù)方程的根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類討論，從而確定函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）先利用函數(shù)有兩個零點、將利用和進(jìn)行表示，于此同時，利用分析法將所要證明的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為，并結(jié)合前面的結(jié)果，令，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行證明.
試題解析：（1），定義域為，
，由于，，
①當(dāng)時，對任意，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
②當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）因為、是函數(shù)的兩個零點，有，
則，，
兩式相減得，
即
所以                         
又因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，
故只要證即可，即證明，
即證明，
即證明，
設(shè).令，
則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，
所以在是增函數(shù)；又因為，所以當(dāng)時，總成立.
所以原題得證.                               
考點：1.分類討論法；2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；3.函數(shù)不等式