【題目】已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)點P(2,3), Q(2,-3)在橢圓上,A,B是橢圓上位于直線PQ兩惻的動點,
①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;
②當A、B運動時,滿足于∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.
【答案】1);2)(1);(2)直線的斜率是一個定值.
【解析】
(1)根據(jù)拋物線焦點,求得b,再由離心率和橢圓中a、b、c的關(guān)系求得a、c的值,進而得到橢圓的標準方程。
(2)設(shè)出A、B的坐標,聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達定理求得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4;由直線x=2與橢圓交于P,Q兩點可求得P,Q兩點的坐標,則四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ,即可得到面積的最大值;設(shè)出直線方程,聯(lián)立橢圓方程,化簡得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達定理得到AB斜率的表達形式,即可得到斜率為定值。
(1)設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0),由題意可得它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點(0,),∴b=.
再根據(jù)離心率,求得a=2,
∴橢圓C的方程為=1.
(2)①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為y=x+t,代入橢圓C的方程化簡可得x2+2tx+2t2-4=0,由Δ=4t2-4(2t2-4)>0,求得-2<t<2.
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.
在=1中,令x=2求得P(2,1),Q(2,-1),
∴四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ=·PQ·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=,
故當t=0時,四邊形APBQ的面積S取得最大值為4.
②當∠APQ=∠BPQ時,PA,PB的斜率之和等于零,設(shè)PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,PA的方程為y-1=k(x-2),把它代入橢圓C的方程化簡可得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,
∴x2+2=.
同理可得直線PB的方程為y-1=-k(x-2),x2+2=,
∴x1+x2=,x1-x2=.
∴AB的斜率k=
=
=
=.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在實常數(shù)和,使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)都滿足: 和恒成立,則稱此直線為和的“隔離直線”,已知函數(shù), ,有下列命題:
①在內(nèi)單調(diào)遞增;
②和之間存在“隔離直線”,且的最小值為-4;
③和之間存在“隔離直線”,且的取值范圍是;
④和之間存在唯一的“隔離直線”.
其中真命題的個數(shù)有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=3,a2,且2an+1=3an﹣an-1.
(1)求證:數(shù)列{an+1﹣an}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}通項公式;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項和為Tn,若對任意的正整數(shù)n恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)高等數(shù)學(xué)這學(xué)期分別用兩種不同的數(shù)學(xué)方式試驗甲、乙兩個大一新班(人數(shù)均為60人,入學(xué)數(shù)學(xué)平均分和優(yōu)秀率都相同;勤奮程度和自覺性都一樣).現(xiàn)隨機抽取甲、乙兩班各20名的高等數(shù)學(xué)期末考試成績,得到莖葉圖。 學(xué)校規(guī)定:成績不得低于85分的為優(yōu)秀
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下列的的列聯(lián)表
甲 | 乙 | 總計 | |
成績優(yōu)秀 | |||
成績不優(yōu)秀 | |||
總計 |
(2)是否有的把握認為成績優(yōu)異與教學(xué)方式有關(guān)?”(計算保留三位有效數(shù)字)
下面臨界值表僅供參考:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件:,,當且時,且,其中、均為非零常數(shù).
(1)若是等差數(shù)列,求實數(shù)的值;
(2)令(),若,求數(shù)列的通項公式;
(3)令(),若,數(shù)列滿足,若數(shù)列有最大值,最小值,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某特色餐館開通了美團外賣服務(wù),在一周內(nèi)的某特色菜外賣份數(shù)(份)與收入(元)之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù):
外賣份數(shù)(份) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
收入(元) | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)畫出散點圖;
(2)求回歸直線方程;
(3)據(jù)此估計外賣份數(shù)為12份時,收入為多少元.
注:①參考公式:線性回歸方程系數(shù)公式, ;
②參考數(shù)據(jù): , , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為正三角形,側(cè)棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中點,AB=AA1=2.
(I)求證:平面AB1D⊥平面BB1C1C;
(II)求證:A1C∥平面AB1D;
(III)求三棱錐A1-AB1D的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論正確的是( )
A.在中,若,則
B.在銳角三角形中,不等式恒成立
C.在中,若,,則為等腰直角三角形
D.在中,若,,三角形面積,則三角形外接圓半徑為
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