Question

給定雙曲線．
（1）過點A（2，1）的直線L與所給的雙曲線交于兩點P₁及P₂，求線段P₁P₂的中點P的軌跡方程．
（2）過點B（1，1）能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q₁及Q₂，且點B是線段Q₁Q₂的中點？這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線L的方程代入雙曲線方程，設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂的表達式，表示出x，把x代入直線方程求得y的表達式，再由的表達式相除后消去k而得所求軌跡的普通方程即是所求的軌跡方程．
（2）設所求直線方程為y=k（x-1）+1，代入雙曲線方程，設Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂求得k，代入判別式結果小于0，進而斷定滿足題設中條件的直線不存在．
解答：解：設直線L的方程為y=k（x-2）+1，（1）
將（1）式代入雙曲線方程，得：（2-k²）x²+（4k²-2k）x-4k²+4k-3=0，（2）
又設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），，
則x₁，x₂必須是（2）的兩個實根，所以有．
按題意，，∴．
因為在直線（1）上，所以．
再由的表達式相除后消去k而得所求軌跡的普通方程為，這就是所求的軌跡方程．

（2）設所求直線方程為y=k（x-1）+1，代入雙曲線方程，整理得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0，（3）
設必須是（3）的兩個實根，
即如果B是Q₁Q₂的中點，
就有（x₁+x₂）=1，，所以有．
綜合起來，k應滿足．
由第二式解出k=2，但k=2不滿足第一式，所以（I）無解．
故滿足題設中條件的直線不存在．
點評：本題主要考查了雙曲線的應用．解題的結果一定注意放到判別式中進行驗證．