Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對(duì)于任意m，n∈（0，+∞）都有：f（m?n）=f（m）+f（n）成立，
且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
（1）求證：1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）證明：f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（3）當(dāng)f（2）=

1

2

時(shí)，求不等式f（x²-3x）＞1的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令m=n=1代入f（m?n）=f（m）+f（n）即可解得；
（2）先證明f（

m

n

）=f（m）-f（n）；從而可證明f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（3）f（4）=f（2）+f（2）=1，從而化不等式f（x²-3x）＞1為f（x²-3x）＞f（4）；利用單調(diào)性求解．

解答： 解：（1）證明：令m=n=1；
則f（1）=f（1）+f（1）；
則f（1）=0；
故1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）證明：令m•n=1；
則f（1）=f（m）+f（

1

m

）=0；
故f（

1

m

）=-f（m）；
∴f（

m

n

）=f（m）-f（n）；
設(shè)0＜x₁＜x₂；則

x2

x1

＞1；
故f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0；
故f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（3）∵f（2）=

1

2

，∴f（4）=f（2）+f（2）=1；
∴不等式f（x²-3x）＞1可化為f（x²-3x）＞f（4）；
故0＜x²-3x＜4；
故-1＜x＜0或3＜x＜4；
故所求不等式f（x²-3x）＞1的解集為（-1，0）∪（3，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及不等式的求解，屬于中檔題．