Question

13．在一次聯(lián)考后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)理科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的2×2列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個(gè)理科班全部110人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率為$\frac{3}{11}$．

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
甲班	10
乙班		30
合計(jì)			110

（1）請(qǐng)完成右面的列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系？（2）在甲、乙兩個(gè)理科班優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，用ξ表示抽得甲班的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列．
參考公式和數(shù)據(jù)：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+c}）（{b+d}）（{a+b}）（{c+d}）}}$

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）計(jì)算兩個(gè)班的優(yōu)秀人數(shù)，填寫2×2列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算K²，對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論；
（3）由（1）知甲、乙兩個(gè)理科班優(yōu)秀的人數(shù)，得出ξ的可能取值，且ξ服從超幾何分布，寫出頻率分布即可．

解答 解：（1）如表格所示，

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
甲班	10	50	60
乙班	20	30	50
合計(jì)	30	80	110

由于從甲、乙兩個(gè)理科班全部110人中隨機(jī)抽取人為優(yōu)秀的概率為$\frac{3}{11}$，
∴兩個(gè)班優(yōu)秀的人數(shù)為110×$\frac{3}{11}$=30，
∴乙班優(yōu)秀的人數(shù)=30-10=20，甲班非優(yōu)秀的人數(shù)=110-（10+20+30）=50；
即可完成表格；
假設(shè)成績(jī)與班級(jí)無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得：
K²=$\frac{110{×（10×30-20×50）}^{2}}{60×50×30×80}$≈7.487．
∴K²＞6.635，因此有99%的把握知假設(shè)不成立，成績(jī)與班級(jí)有關(guān)；
（2）由（1）知：甲、乙兩個(gè)理科班優(yōu)秀的人數(shù)分別為10，20；
ξ的可能取值為0，1，2，且ξ服從超幾何分布；
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{20}^{2}}{{C}_{30}^{2}}$=$\frac{38}{87}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{10}^{1}{•C}_{20}^{1}}{{C}_{30}^{2}}$=$\frac{40}{87}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{30}^{2}}$=$\frac{9}{87}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{38}{87}$	$\frac{40}{87}$	$\frac{9}{87}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)以及超幾何分布列的應(yīng)用問題，是綜合性題目．