Question

10．若函數(shù)f（x）=2cos2x+asinx-4在$[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$內(nèi)的圖象恒在x軸下方，則a的取值范圍為a＜4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x），設(shè)t=sinx，得二次函數(shù)f（t）開口向下的拋物線；
討論（1）a＜0時(shí)f（t）的最大值f（$\frac{1}{2}$）＜0，求出a的取值范圍；
（2）a＞0時(shí)分三種情況討論，分別求出f（t）的最大值，
令最大值小于0，求出對(duì)應(yīng)a的取值范圍，即可得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=2cos2x+asinx-4
=2-4sin²x+asinx-4
=-4（sinx-$\frac{a}{8}$）²+$\frac{{a}^{2}}{16}$-2，
設(shè)t=sinx，x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]；
所以二次函數(shù)f（t）是以t=$\frac{a}{8}$為對(duì)稱軸且開口向下的拋物線；
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)稱軸t=$\frac{a}{8}$在y軸的左側(cè)，
由于當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]；
所以f（t）的最大值是f（$\frac{1}{2}$）=-3+$\frac{1}{2}$a＜0，
解得a＜6，取a＜0；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，分以下三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}{8}$＜1 時(shí)，即4＜a＜8，f（t）的最大值是f（$\frac{a}{8}$）=$\frac{{a}^{2}}{16}$-2＜0，
解得-4$\sqrt{2}$＜a＜4$\sqrt{2}$，取4＜a＜4$\sqrt{2}$；
②當(dāng)0≤$\frac{a}{8}$≤$\frac{1}{2}$時(shí)，即0≤a≤4，f（t）的最大值是f（$\frac{1}{2}$）=-3+$\frac{1}{2}$a＜0，
解得a＜6，取0≤a≤4；
③當(dāng)$\frac{a}{8}$≥1時(shí)，即a≥8，f（t）的最大值是f（1）=-6+a＜0，
解得a＜6，不合題意應(yīng)舍去；
由（1）、（2）知，a的取值范圍是a＜4$\sqrt{2}$．
故答案為：a＜4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的變換，二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式以及對(duì)稱軸的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，是難題．