Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)g（x）= ，求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）=t有兩個不相等的實數(shù)根x1 ， x2 ， 求證：x1+x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵g（x）= （x＞0，且x≠1），則g′（x）= （x＞0，且x≠1）， 設(shè)h（x）=x﹣lnx﹣1（x＞0，且x≠1），則h′（x）=1﹣ （x＞0，且x≠1），
當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；x＞1時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
∴h（x）＞h（1）=0，
∴當(dāng)x＞0，且x≠1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，1），（1，+∞），無單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）證明：f′（x）=1+lnx，當(dāng)0＜x＜ ，f′（x）＞0，則f（x）在（0， ）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞ 時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＜0，當(dāng)x＞1，f（x）＞0，
設(shè)0＜x1＜ x2＜1，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣f（x﹣ ），
則F′（x）=f′（x）﹣f′（ ﹣x）=2+lnx（ ﹣x），
當(dāng)0＜x＜ ，x（ ﹣x）＜ ，則F′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0， ）單調(diào)遞減，
由F（ ）=0，故F（x）＞0，（0＜e＜ ），
由0＜x1＜ ，得F（x1）=f（x1）﹣f（ ﹣x1）＞0，
則f（x1）=f（x2）＞f（ ﹣x1），
又x2＞ ， ﹣x1＞ ，
∴f（x）在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，故x2＞ ﹣x1 ，
∴x1+x2
【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)h′（x）=1﹣ （x＞0，且x≠1），則h（x）＞h（1）=0，則f′（x）＞0，即可求得g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣f（x﹣ ），求導(dǎo)F′（x）=2+lnx（ ﹣x），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知F（x）＞0，（0＜e＜ ），當(dāng)0＜x1＜ ，得F（x1）=f（x1）﹣f（ ﹣x1）＞0，f（x）在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，故x2＞ ﹣x1 ， 即可求證不等式成立．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．