【題目】設(shè)函數(shù)F(x)= ,其中f(x)=log2(x2+1),g(x)=log2(|x|+7).
(1)在實(shí)數(shù)集R上用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)F(x)的解析式;
(2)求函數(shù)F(x)的最小值.
【答案】
(1)
解:F(x)= ,
令log2(x2+1)≥log2(|x|+7),得x2﹣|x|﹣6≥0,
解得:x≤﹣3或x≥3,(5分)∴F(x)=
(2)
解:當(dāng)x≥3或x≤﹣3時(shí),F(xiàn)(x)=log2(x2+1),設(shè)u=x2+1≥10,y=log2u在[10,+∞)上遞增,所以F(x)min=log210;(說(shuō)明:設(shè)元及單調(diào)性省略不扣分)
同理,當(dāng)﹣3<x<3,F(xiàn)(x)min=log27;
又log27<log210∴x∈R時(shí),F(xiàn)(x)min=log27.
或解:因?yàn)镕(x)是偶函數(shù),所以只需要考慮x≥0的情形,
當(dāng)0≤x<3,F(xiàn)(x)=log2(x2+7),當(dāng)x=0時(shí),F(xiàn)(x)min=log27;
當(dāng)x≥3時(shí),F(xiàn)(x)=log2(x2+1),當(dāng)x=3時(shí),F(xiàn)(x)min=log210;
∴x∈R時(shí),F(xiàn)(x)min=log27
【解析】(1)令log2(x2+1)≥log2(|x|+7),解得:x的取值范圍,再結(jié)合F(x)的意義用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)F(x)的解析式即可;(2)先分情況討論函數(shù)的單調(diào)性:當(dāng)x≥3或x≤﹣3時(shí);當(dāng)﹣3<x<3,分別求出F(x)的最小值,最后綜合得出x∈R時(shí),F(xiàn)(x)min=log27.或利用F(x)的奇偶性,只需要考慮x≥0的情形,只須分兩種情形討論:當(dāng)0≤x<3,當(dāng)x≥3時(shí),分別求得F(x)的最小值即得.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的值域,需要了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最。ù螅⿺(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(12分)如圖,底面是正三角形的直三棱柱中,D是BC的中點(diǎn),.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求的A1 到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是矩形,平面 平面,且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形, ,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面 ;
(2)點(diǎn) 在 上,且滿足 ,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若 ,求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;
(2)若對(duì)任意 在恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x﹣4cosx.
(1)求 的值;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于平面向量,有下列四個(gè)命題:
①若 .
② =(1,1), =(2,x),若 與 平行,則x=2.
③非零向量 和 滿足| |=| |=| |,則 與 的夾角為60°.
④點(diǎn)A(1,3),B(4,﹣1),與向量 同方向的單位向量為( ).
其中真命題的序號(hào)為 . (寫出所有真命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小學(xué)對(duì)五年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試,已知五年一班共有學(xué)生30人,測(cè)試立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)用莖葉圖表示如圖(單位:cm): 男生成績(jī)?cè)?75cm以上(包括175cm)定義為“合格”,成績(jī)?cè)?75cm以下(不包括175cm)定義為“不合格”.
女生成績(jī)?cè)?65cm以上(包括165cm)定義為“合格”,成績(jī)?cè)?65cm以下(不包括165cm)定義為“不合格”.
(1)求五年一班的女生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù);
(2)在五年一班的男生中任意選取3人,求至少有2人的成績(jī)是合格的概率;
(3)若從五年一班成績(jī)“合格”的學(xué)生中選取2人參加復(fù)試,用X表示其中男生的人數(shù),寫出X的分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在 內(nèi)無(wú)極值,求的取值范圍;
(3)設(shè),求證: 。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 與 的夾角為60°.
(1)若 , 都是單位向量,求|2 + |;
(2)若| |=2, + 與2 ﹣5 垂足,求| |.
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