已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(-3,0),一條漸近線的方程是
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M, N,且線段MA的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍。

(1)  ;(2)

解析試題分析:(1)因為中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(一3,0),一條漸近線的方程是,兩個條件即可求出雙曲線的方程.
(2)依題意可得通過假設(shè)直線的方程,聯(lián)立雙曲線方程消去y,即可得到一個關(guān)于x的二次方程,運用韋達定理以及判別式要大于零,即可寫出線段MN的中垂線的直線方程,從而求出直線與兩坐標軸的交點,即可表示出所求的三角形的面積,從而得到一個等式結(jié)合判別式的關(guān)系式,即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)設(shè)雙曲線的方程為,
由題設(shè)得  解得,所以雙曲線的方程為;
(2)設(shè)直線的方程為,點,的坐標滿足方程組,將①式代入②式,得,
整理得,此方程有兩個不等實根,于是,

整理得.③ 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點坐標滿足:
,,從而線段的垂直平分線的方程為,此直線與軸,軸的交點坐標分別為,
由題設(shè)可得,整理得,,
將上式代入③式得,整理得,,解得, 所以的取值范圍是. 
考點:1.待定系數(shù)的應用.2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.3.三角形的面積的表示方法.4.韋達定理.5.代數(shù)的運算能力.

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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)過點(0,4),離心率為.
(1)求C的方程;
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

橢圓C1:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,點P是雙曲線C2:-=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點,直線AP,BP與橢圓C1分別交于C,D點,若S△ACD=S△PCD.

(1)求P點的坐標.
(2)能否使直線CD過橢圓C1的右焦點,若能,求出此時雙曲線C2的離心率;若不能,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0).
(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標準方程.
(2)在(1)的條件下,設(shè)過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍.
(3)過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點,設(shè)原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時a,b滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

橢圓的離心率為,且經(jīng)過點過坐標原點的直線均不在坐標軸上,與橢圓M交于A、C兩點,直線與橢圓M交于B、D兩點
(1)求橢圓M的方程;
(2)若平行四邊形ABCD為菱形,求菱形ABCD的面積的最小值

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在x軸上,長軸長是短軸長的2倍,且經(jīng)過點M(2,1),平行于OM的直線ly軸上的截距為m,直線l與橢圓相交于AB兩個不同點.

(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)證明:直線MA,MBx軸圍成的三角形是等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖X15-3所示,已知圓C1:x2+(y-1)2=4和拋物線C2:y=x2-1,過坐標原點O的直線與C2相交于點A,B,定點M的坐標為(0,-1),直線MA,MB分別與C1相交于點D,E.

(1)求證:MA⊥MB;
(2)記△MAB,△MDE的面積分別為S1,S2,若=λ,求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓與雙曲線x2-y2=0有相同的焦點,且離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點P(0,1)的直線與該橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,若=2,求△AOB的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,設(shè)橢圓的離心率,頂點的距離為,為坐標原點.

(1)求橢圓的方程;
(2)過點作兩條互相垂直的射線,與橢圓分別交于兩點.
(。┰嚺袛帱c到直線的距離是否為定值.若是請求出這個定值,若不是請說明理由;
(ⅱ)求的最小值.

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