已知數(shù)列{an}是首項為a1=4,公比q≠1的等比數(shù)列,Sn是其前項和,且4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列.
(1)求公比q的值;
(2)設(shè)An=S1+S2+S3+…+Sn,求An.
分析:(1)利用4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列列出等式,利用等比數(shù)列的通項公式將等式中的各項利用首項與公比表示,解方程求出公比.
(2)利用等比數(shù)列的前n項和公式求出Sn,由于Sn是一個常數(shù)列和一個等比數(shù)列的和構(gòu)成的數(shù)列,利用分組法求出數(shù)列的和An.
解答:解:(1)∵4a
1,a
5,-2a
3成等差數(shù)列,
∴2a
5=4a
1+(-2a
3),
∵a
5=a
1q
4,a
3=a
1q
2,
∴2a
1q
4=4a
1-2•a
1q
2.
∵a
1≠0
q
4+q
2-2=0.
∴q
2=1或q
2=-2( 舍去)
∵q≠1,
∴q=-1.
(2)∵
Sn==2-2•(-1)n.
∴A
n=S
1+S
2+S
3+…+S
n=[2-2•(-1)
1]+[2-2•(-1)
2]+[2-2•(-1)
3]+…+[2-2•(-1)
n]
=2n-2•[(-1)+(-1)
2+(-1)
3+…+(-1)
n]
=
2n-2=2n+1-(-1)
n 點(diǎn)評:求數(shù)列的前n項和,一般先求出數(shù)列的通項,然后根據(jù)通項的特點(diǎn)選擇合適的求和方法.常見的求和方法有:公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組法.