【題目】若函數(shù)f(x)滿足:在定義域D內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0 , 使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,則稱函數(shù)f(x)為“1的飽和函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù):①f(x)= ;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cos(πx).其中是“1的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號(hào)為(
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④

【答案】B
【解析】解:對(duì)于①,若存在實(shí)數(shù)x0 , 滿足f(x0+1)=f(x0)+f(1), 則 ,所以 ,
該方程無實(shí)根,因此①不是“1的飽和函數(shù)”;
對(duì)于②,若存在實(shí)數(shù)x0 , 滿足f(x0+1)=f(x0)+f(1),
,解得x0=1,因此②是“1的飽和函數(shù)”;
對(duì)于③,若存在實(shí)數(shù)x0 , 滿足f(x0+1)=f(x0)+f(1),
,
化簡(jiǎn)得 =0,該方程無實(shí)根,因此③不是“1的飽和函數(shù)”;
對(duì)于④,注意到 ,f( )+f(1)=
即f( +1)=f( )+f(1),
因此是“1的飽和函數(shù)”,
綜上可知,其中是“1的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號(hào)是②④.
故選:B.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的值,掌握函數(shù)值的求法:①配方法(二次或四次);②“判別式法”;③反函數(shù)法;④換元法;⑤不等式法;⑥函數(shù)的單調(diào)性法即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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