【題目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f(x)=xlnx,

∴f'(x)=lnx+1,

單調(diào)遞減,

單調(diào)遞增,

,沒有最小值;

,即 時, ;

,即 時,f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(t)=tlnt

所以


(2)解:2xlnx≥﹣x2+ax﹣3,則

設(shè) ,

,

①x∈(0,1),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

②x∈(1,+∞),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,

所以h(x)min=h(1)=4,

對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,

∵g(x)=﹣x2+ax﹣3.所以a≤h(x)min=4;


【解析】(1)f'(x)=lnx+1,當 單調(diào)遞減,當 單調(diào)遞增,由此進行分類討論,能求出函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.(2)由2xlnx≥﹣x2+ax﹣3,知 ,設(shè) ,則 ,由此入手能夠求出實數(shù)a的取值范圍.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知 表示兩條不同的直線, 表示一個平面,給出下列四個命題:
;② ;
;④ .
其中正確命題的序號是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.①④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某圓拱橋的示意圖如圖所示,該圓拱的跨度AB36 m拱高OP6 m,在建造時每隔3 m需用一個支柱支撐,求支柱A2P2的長(精確到0.01 m)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸的非負半軸重合.曲線 (t為參數(shù)),曲線C2的極坐標方程為ρ=ρcos2θ+8cosθ. (Ⅰ)將曲線C1 , C2分別化為普通方程、直角坐標方程,并說明表示什么曲線;
(Ⅱ)設(shè)F(1,0),曲線C1與曲線C2相交于不同的兩點A,B,求|AF|+|BF|的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a、b∈R)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[﹣1,﹣1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣k( +lnx),若x=2是函數(shù)f(x)的唯一一個極值點,則實數(shù)k的取值范圍為(
A.(﹣∞,e]
B.[0,e]
C.(﹣∞,e)
D.[0,e)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】ABC的三個頂點分別為A(0,4)、B(-2,6)、C(-8,0).

(1)分別求邊ACAB所在直線的方程;

(2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程;

(3)求AC邊的中垂線所在直線的方程;

(4)求AC邊上的高所在直線的方程;

(5)求經(jīng)過兩邊ABAC的中點的直線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),若P是圓C與x軸的交點,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,設(shè)過點P的圓C的切線為l (Ⅰ)求直線l的極坐標方程
(Ⅱ)求圓C上到直線ρ(cosθ+ sinθ)+6=0的距離最大的點的直角坐標.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥ADAC⊥CD,∠ABC=60°PA=AB=BC,

EPC的中點.求證:

CD⊥AE;

PD⊥平面ABE

查看答案和解析>>

同步練習冊答案