Question

20．函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若f（x）=f（2-x），且（x-1）f′（x）＞0，f（2）=0，則x•f（x）＜0的解集為（　�。�

• A． （0，2）
• B． （0，1）∪（2，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，2）
• D． （-∞，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 通過(guò)討論x的范圍，求出f（x）的單調(diào)性，根據(jù)f（x）=f（2-x），求出f（x）的對(duì)稱性，從而求出不等式的解集即可．

解答 解：∵（x-1）f′（x）＞0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
又f（x）=f（2-x），∴f（x+1）=f（1-x），對(duì)稱軸x=1，
而f（2）=0，
∴x∈（-∞，0），f（x）＞0，
x∈（0，2），f（x）＜0，
x∈（2，+∞），f（x）＞0，
x•f（x）＜0的解集是（-∞，0）∪（0，2），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性，考查不等式問(wèn)題，是一道中檔題．