Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，（ω＞0），其最小正周期為 ．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移 個單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+m=0在區(qū)間 上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

= ，

由題意知f（x）的最小正周期 ， ，

所以ω=2，

所以 ．

（2）解：將f（x）的圖象向右平移 個單位后，得到y(tǒng)=sin4x的圖象；

再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sinx的圖象，

所以g（x）=sinx，g（x）+m=0在區(qū)間 上有且只有一個實數(shù)解，即函數(shù)y=g（x）與y=﹣m在區(qū)間 上有且只有一個交點(diǎn)，

由正弦函數(shù)的圖象可知 ，

解得 ，

所以實數(shù)m的取值范圍是 ．

【解析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）= ，由題意及周期公式可求ω的值，即可得解．（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）=sinx，在區(qū)間 上有且只有一個實數(shù)解，即函數(shù)y=g（x）與y=﹣m在區(qū)間 上有且只有一個交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖象可解得實數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．