Question

已知函數(shù)f（x）=x-（a+1）lnx-

a

x

（a∈R），g（x）=

x

ex

．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＜1時(shí)，若存在x₁∈[1，2]，使得對(duì)任意的x₂∈[1，2]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）將不等式f（x₁）＜g（x₂）恒成立，轉(zhuǎn)化為求出函數(shù)的最值關(guān)系，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的都為（0，+∞），
則f′（x）=1-

a+1

x

+

a

x2

=

x2-(a+1)x+a

x2

=

(x-a)(x-1)

x2

，
①若a≤0，由f′（x）＞0，得x＞1．此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（1，+∞），
由f′（x）＜0，得0＜x＜1．此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即減區(qū)間為（0，1），
②若0＜a＜1，由f′（x）＞0，得x＞1或0＜x＜a．此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（1，+∞），（0，a），
由f′（x）＜0，得a＜x＜1．此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即減區(qū)間為（a，1），
③若a=1時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（0，+∞）；
④若a＞1，由f′（x）＞0，得x＞a或0＜x＜1．此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（a，+∞），（0，1），
由f′（x）＜0，得1＜x＜a．此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即減區(qū)間為（1，a）．
（Ⅱ）當(dāng)a＜1時(shí)，若存在x₁∈[1，2]，使得對(duì)任意的x₂∈[1，2]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，
則f（x）_min＜g（x）_min
由Ⅰ知，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，則f（x）_min=f（1）=1-a，
∵g（x）=

x

ex

．
∴g′（x）=

1-x

ex

≤0，即g（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
則g（x）_min=g（2）=

2

e2

，
故1-a＜

2

e2

，即1-

2

e2

＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
注意要對(duì)a進(jìn)行分類討論．