Question

已知函數(shù)y=

1

3

x3+x2-8x的圖象C上存在一個(gè)定點(diǎn)P滿足：若過定點(diǎn)P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），就恒有y₁+y₂為定值y₀，則y₀的值為（　　）

• A、-

  1

  3

• B、

  52

  3

• C、-

  4

  3

• D、-2

Answer 1

分析：先根據(jù)題意判斷出MN兩點(diǎn)關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱，求得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)和二階導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)三次函數(shù)的對(duì)稱中心的二階導(dǎo)數(shù)為0，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，則y₁+y₂的值可求得．

解答：解：P為定點(diǎn)，y₁+y₂為定值，
∴MN兩點(diǎn)關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱
y′=x²+2x-8
y〃=2x+2
三次函數(shù)的對(duì)稱中心的二階導(dǎo)數(shù)為0
y〃=2x+2=0
x=-1
故P點(diǎn)為（-1，

26

3

）
∴y₁+y₂=2×

26

3

=

52

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何意義．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．