已知f(x)=lg(x2-mx+2m-1),m∈R
(Ⅰ)當m=0時,求f(x)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的值域是[lg2,+∞),求m的值;
(Ⅲ)若x∈[0,1]時不等式f(x)>0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
分析:(Ⅰ)利用復合函數(shù)的單調性去求函數(shù)的增區(qū)間.(Ⅱ)利用函數(shù)的值域是[lg2,+∞),確定m的數(shù)值.
(Ⅲ)不等式f(x)>0恒成立,實質是求當x∈[0,1]時,函數(shù)f(x)的最值.
解答:解:(Ⅰ)當m=0時,f(x)=lg(x
2-1),設t=x
2-1,
當x∈(1,+∞)時,t=x
2-1遞增,而當t>0時,y=lgt遞增
所以f(x)的遞增區(qū)間是(1,+∞)…(4分)
(Ⅱ)因為函數(shù)f(x)的值域是[lg2,+∞),依題意得t=x
2-mx+2m-1的最小值是2,
解

得m=2或m=6…(8分)
(Ⅲ)法一:當x∈[0,1]時,將x
2-mx+2m-2>0分離變量后得到

令

,則

,
令g′(x)=0得

…(11分)∴當

時g′(x)>0,當

時g′(x)<0
而

時取得最大值

,∴m>

…(14分)
法二:依題意得:x
2-mx+2m-2>0,令h(x)=x
2-mx+2m-2,軸是

(1)當

時,則有f(0)=2m-2>0,解得m∈Φ;
(2)當

時,則有△=m
2-8m+8>0,解得

;

(3)當

時,則有f(1)=m-1>0,解得m>2
綜上所求,實數(shù)m的取值范圍是(

,+∞)
法三:將x
2-mx+2m-2>0移項得x
2>mx-2m+2,設

,f
2(x)=mx-2m+2,
則f
1(x)、f
2(x)的圖象分別為右圖所示的一段拋物線和直線,要使對一切x∈[0,1],f
1(x)>f
2(x)恒成立,即要使得x∈[0,1]時,拋物線
段總在直線段的上方,因為直線恒過定點(2,2),可觀察
圖象得:直線的斜率必須大于相切時的斜率值,而相
切時的斜率可用判別式或導數(shù)易求得為

,
所以

.…(14分)
點評:本題考查了與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的性質,對應復合函數(shù)可以通過換元法來進行轉化.