Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a∈R是常數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象在為p（1，f（1））處的切線L方程；
（Ⅱ）證明函數(shù)y=f（x）（x≠1）的圖象在切線L下方．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線l的方程；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-（1-a）x，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用最值證明：函數(shù)y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=lnx-ax+1，
∴f′(x)=

1

x

-a，f（1）=-a+1，
∴f'（1）=1-a，∴切線L方程為y-（1-a）=（1-a）（x-1）
即y=（1-a）x；
（Ⅱ）證明：令F（x）=lnx-ax+1-x+ax=lnx-x+1，則F′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

(x＞0)
令F'（x）＞0，可得0＜x＜1；F'（x）＜0，可得x＞1，
∴F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴F（x）_max=F（1）=0，
又x≠1，∴F（x）＜0，
∴f（x）＜（1-a）x，
∴函數(shù)y=f（x）（x≠1）的圖象在切線L下方．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的運算能力，綜合性較強．