【題目】已知為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，是橢圓上異于的動點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí)，求證:以 為直徑的圓與直線恒相切.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析: （1）由題意知知，由此能求出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，得.，由此利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式、直線與圓相切等知識點(diǎn)結(jié)合已知條件能證明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí)，以 為直徑的圓與直線恒相切．

試題解析：(1)設(shè)橢圓的方程為,

由題意知解之得,

故橢圓的方程為.

(2)證明：設(shè)直線的方程為.

則點(diǎn)坐標(biāo)為中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由得.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

.

點(diǎn)坐標(biāo)為,

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

此時(shí)以為直徑的圓與直線相切.

當(dāng)時(shí)，則直線的斜率.

直線的方程為.

點(diǎn)E到直線的距離.

又因?yàn)?/span>.

故以為直徑的圓與直線相切.

綜上得，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí)，以為直徑的圓與直徑恒相切.

練習(xí)冊系列答案
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（1）求，，，判斷事件A與B是否相互獨(dú)立；

（2）求.

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（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）記表示事件“從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績不低于分”，估計(jì)的概率；

（Ⅲ）在抽取的名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于分為“非優(yōu)秀”．請將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

參考公式及數(shù)據(jù)：，．

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【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，．

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【題目】某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]

（Ⅰ）求圖中的值，并估計(jì)該班期中考試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；

（Ⅱ）從成績不低于90分的學(xué)生和成績低于50分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，求這2人成績均不低于90分的概率．

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（I）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（II）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值．

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【題目】某縣共有90間農(nóng)村淘寶服務(wù)站，隨機(jī)抽取5間，統(tǒng)計(jì)元旦期間的網(wǎng)購金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù).

（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；

（2）若網(wǎng)購金額(單位：萬元)不小于18的服務(wù)站定義為優(yōu)秀服務(wù)站，其余為非優(yōu)秀服務(wù)站.根據(jù)莖葉圖推斷90間服務(wù)站中有幾間優(yōu)秀服務(wù)站？

（3）從隨機(jī)抽取的5間服務(wù)站中再任取2間作網(wǎng)購商品的調(diào)查，求恰有1間是優(yōu)秀服務(wù)站的概率.

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