已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)、F2(1,0),斜率為k(k≠0)的直線l經(jīng)過點(diǎn)F2,交橢圓于A、B兩點(diǎn),且△ABF1的周長為8.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn),
AF2
F2B
(λ∈R),若
F1F2
⊥(
EA
BE
)
,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
分析:(Ⅰ)由題意可得|AF1|+|BF1|+|AB|=8,結(jié)合|AB|=AF2|+|BF2|,可求|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|,根據(jù)橢圓的定義可求a,然后由c得值班可求b,進(jìn)而可求橢圓的方程
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的(m,0),由已知可得直線l的方程為y=k(x-1),代入橢圓方程
x2
4
+
y2
3
=1整理得:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程(*)的兩個實(shí)根,結(jié)合根與系數(shù)得關(guān)系及
AF2
F2B
,
F1F2
⊥(
EA
BE
)
,代入可求點(diǎn)E的坐標(biāo)
解答:解:(Ⅰ)依題意,A、B不與橢圓C長軸兩端點(diǎn)重合,因?yàn)椤鰽BF1的周長為8,
即|AF1|+|BF1|+|AB|=8,又|AB|=AF2|+|BF2|,
所以|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8.
根據(jù)橢圓的定義,得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,
所以,4a=8,a=2.…(2分)
又因?yàn)?nbsp;c=1,
所以,b=
3

所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1.(4分)
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,0),由已知可得直線l的方程為y=k(x-1),
代入橢圓方程
x2
4
+
y2
3
=1
消去y整理得:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0(*)(6分)
△=64k4-4(3+4k2)(4k2-12)=144(k2+1)>0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程(*)的兩個實(shí)根,
由根與系數(shù)的關(guān)系可知:
x1+x2=
8k2
3+4k2
x1x2=
4k2-12
3+4k2
(1)
 
(2)
(8分)
AF2
=(1-x1,-y1
),
F2B
=(x2-1,y2
),
EA
=(x1-m,y1
),
BE
=(m-x2,-y2

由已知
AF2
F2B
,得1-x1=λ(x2-1).
由已知x2≠1,則λ=
1-x1
x2-1
(9分)
EA
BE
=(x1-m+λ(m-x2),y1y2
)x1-m+λ(m-x2)=x1-m+
(1-x1)(m-x2)
x2-1
=
(x1-m)(x2-1)+(1-x1)(m-x2)
x2-1

=
2x1x2-(m+1)(x1+x2)+2m
x2-1
=
2(4k2-12)
3+4k2
-
8(m+1)k2
3+4k2
+2m
x2-1

因?yàn)?span id="nqig8zn" class="MathJye">
F1F2
•(
EA
BE
)=0
F1F2
=(2,0),
EA
BE
=(x1-m+λ(m-x2),y1y2

∴2(x1-m+λ(m-x2))=0
2(4k2-12)
3+4k2
-
8(m+1)k2
3+4k2
+2m=0
化簡得:6m-24=0,m=4,即E(4,0).(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的方程,直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用,方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用,考查了考生的基本運(yùn)算推理的能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•崇明縣二模)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
2
= 1
(a>0),其焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)Q(
2
2
,
7
2
)
為橢圓上一點(diǎn).
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動點(diǎn)P(x0,y0)滿足
OP
=
OM
+2
ON
,其中M、N是橢圓C上的點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
,求證:
x
2
0
+2
y
2
0
為定值;
(3)在(2)的條件下探究:是否存在兩個定點(diǎn)A,B,使得|PA|+|PB|為定值?若存在,給出證明;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•河北區(qū)一模)已知橢圓C的方程為 
x2
a2
+
y2
b2
=1 
(a>b>0),過其左焦點(diǎn)F1(-1,0)斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)若
OP
+
OQ
a
=(-3,1)共線,求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知直線l:x+y-
1
2
=0,在l上求一點(diǎn)M,使以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)且過M點(diǎn)的雙曲線E的實(shí)軸最長,求點(diǎn)M的坐標(biāo)和此雙曲線E的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1,過C的右焦點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn),向量
m
=(-1,-4),若向量
OA
-
OB
m
-
OF
共線,則直線AB的方程是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1,過C的右焦點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn),向量
m
=(-1,-4),若向量
OA
-
OB
m
-
OF
共線,則直線AB的方程是( 。
A.2x-y-2=0B.2x+y-2=0C.2x-y+2=0D.2x+y+2=0

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