Question

12．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-3，x∈（0，1]}\\{{2}^{x-1}-1，x∈（1，2]}\end{array}\right.$且g（x）=f（x）-mx在（0，2]內有且僅有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• B． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]
• C． （-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]
• D． （-$\frac{11}{4}$，-2]∪（0，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-mx=0，即f（x）=mx，作出兩個函數的圖象，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-3，x∈（0，1]}\\{{2}^{x-1}-1，x∈（1，2]}\end{array}\right.$的圖象如圖所示．
m∈（0，$\frac{1}{2}$]時，y=mx與圖象兩支有兩個交點，
m＜0時，由0＜x≤1，$\frac{1}{x}$-3=mx，即mx²+3x-1=0，
方程有兩解時，$\left\{\begin{array}{l}{9+4m＞0}\\{0＜-\frac{3}{2m}≤1}\\{m+2≤0}\end{array}\right.$，∴-$\frac{9}{4}$＜m≤-2，
綜上所述，（-$\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．
故選：A．

點評 本題主要考查函數零點的應用，利用數形結合是解決此類問題的基本方法．