【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣ax﹣aln(x﹣1)(a∈R)
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的最值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=x2﹣ax﹣aln(x﹣1)(a∈R)的定義域是(1,+∞)
當(dāng)a=1時,f(x)=x2﹣x﹣ln(x﹣1),
,
當(dāng)x∈ 時,f′(x)<0,
所以f (x)在 為減函數(shù).
當(dāng)x∈ 時,f′(x)>0,
所以f (x)在 為增函數(shù),
則當(dāng)x= 時,f(x)有極小值,也就是最小值.
所以函數(shù)f (x)的最小值為 =
(2)解: ,
若a≤0時,則 ,f(x)= >0在(1,+∞)恒成立,
所以f(x)的增區(qū)間為(1,+∞).
若a>0,則 ,故當(dāng) ,f′(x)= ≤0,
當(dāng) 時,f(x)= ≥0,
所以a>0時f(x)的減區(qū)間為 ,f(x)的增區(qū)間為
【解析】(1)首先求出函數(shù)的定義域,把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式后,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)等于0求出函數(shù)的極值點(diǎn),結(jié)合定義域可得函數(shù)在定義域內(nèi)取得最值的情況,從而求出函數(shù)的最值.(2)把原函數(shù)求導(dǎo)后,對參數(shù)a進(jìn)行分類,根據(jù)a的不同取值得到導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號,從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2)處的切線的斜率分別是kA , kB , 規(guī)定φ(A,B)= (|AB|為線段AB的長度)叫做曲線y=f(x)在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”,給出以下命題: ①函數(shù)y=x3圖象上兩點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)分別為1和﹣1,則φ(A,B)=0;
②存在這樣的函數(shù),圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù);
③設(shè)點(diǎn)A,B是拋物線y=x2+1上不同的兩點(diǎn),則φ(A,B)≤2;
④設(shè)曲線y=ex(e是自然對數(shù)的底數(shù))上不同兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),則φ(A,B)<1.
其中真命題的序號為 . (將所有真命題的序號都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個面試方案:應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題,按照題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定:至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是 ,且每題正確完成與否互不影響.
(Ⅰ)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某經(jīng)銷商從沿海城市水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購進(jìn)一批某海魚,隨機(jī)抽取50條作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按海魚重量(克)得到如圖的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)若經(jīng)銷商購進(jìn)這批海魚100千克,試估計(jì)這批海魚有多少條(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(Ⅱ)根據(jù)市場行情,該海魚按重量可分為三個等級,如下表:
等級 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
重量(g) | [165,185] | [155,165) | [145,155) |
若經(jīng)銷商以這50條海魚的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這批海魚的總體數(shù)據(jù),視頻率為概率.現(xiàn)從這批海魚中隨機(jī)抽取3條,記抽到二等品的條數(shù)為X,求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=ax2+2(a﹣3)x+1在區(qū)間[﹣2,+∞)上遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0)
B.[﹣3,+∞)
C.[﹣3,0]
D.(0,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)關(guān)于的一元二次方程. .
(1)若是從0、1、2、3四個數(shù)中任取的一個數(shù), 是從0、1、2三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程有實(shí)數(shù)根的概率;
(2)若是從區(qū)間任取的一個數(shù), 是從區(qū)間任取的一個數(shù),求上述方程有實(shí)數(shù)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識,面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組:第1組[20,25),第2組[25,30),第3組[30,35),第4組[35,40),第5組[40,45],得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場的宣傳活動,應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的條件下,該市決定在第3,4組的志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn),求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線 的極坐標(biāo)方程是 ,圓 的極坐標(biāo)方程是 .
(1)求 與 交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)設(shè) 為 的圓心, 為 與 交點(diǎn)連線的中點(diǎn),已知直線 的參數(shù)方程是 ( 為參數(shù)),求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為 .直線l過點(diǎn) .
(1)若直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求 的值;
(2)求曲線C的內(nèi)接矩形的周長的最大值.
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