Question

5．橢圓4x²+y²=2上的點到直線2x-y-8=0 的距離的最小值為（　　）

• A． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
• C． 3
• D． 6

Answer 1

分析 設P（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），0≤θ＜2π，求出P到直線2x-y-8=0 的距離d，由此能求出點P到直線的距離的最小值．

解答 解：∵橢圓4x²+y²=2，P為橢圓上一點，
∴設P（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），0≤θ＜2π，
∴P到直線2x-y-8=0 的距離：
d=$\frac{|\sqrt{2}cosθ-\sqrt{2}sinθ-8|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}|cos（θ+\frac{π}{4}）-4|}{5}$≤$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
當且僅當cos（$θ+\frac{π}{4}$）=1時取得最小值．
∴點P到直線2x-y-8=0的距離的最小值為d_min=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查點到直線的距離公式的最小值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓的參數方程的合理運用．