Question

14．已知函數(shù)f（x）對(duì)于任意的x∈R，都有f（x）+f（-x）=0恒成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$sin2x+cosx
• B． -$\frac{2}{3}$sin2x+cosx
• C． $\frac{2}{3}$sin2x-cosx
• D． -$\frac{2}{3}$sin2x-cosx

Answer 1

分析 由題意：f（x）+f（-x）=0恒成立，可得f（x）是奇函數(shù)．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，當(dāng)x＜0時(shí)，那么-x＞0，可得f（x）的解析式．

解答 解：由題意：f（x）+f（-x）=0恒成立，可得f（x）是奇函數(shù)．即-f（x）=f（-x）；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，
當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，那么，f（-x）=$\frac{2}{3}$sin（-2x）+cos（-x）=-$\frac{2}{3}$sin2x+cosx，
∵-f（x）=f（-x）；
∴f（x）=$\frac{2}{3}$sin2x-cosx，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解析式的求法，利用了函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)求解！屬于基礎(chǔ)題．