Question

已知橢圓C：

x2

9

+

y2

4

=1和直線l：x-y-4=0，點(diǎn)P在直線l上，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，求證：當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出P，A，B三點(diǎn)坐標(biāo)：P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)橢圓的切線方程，分別寫(xiě)出切線PA，PB的方程．從而可得到直線AB的方程：

x0x

9

+

y0y

4

=1，而根據(jù)點(diǎn)P在l上，所以有y₀=x₀-4，帶入直線AB的方程得到x₀（4x+9y）-36（y+1）=0，所以解

4x+9y=0 y+1=0

便得直線AB過(guò)的定點(diǎn)．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)橢圓的切線方程：
L_PA：

x1x

9

+

y1y

4

=1，點(diǎn)P在該直線上，∴

x1x0

9

+

y1y0

4

=1   ①；
L_PB：

x2x

9

+

y2y

4

=1，點(diǎn)P在該直線上，∴

x2x0

9

+

y2y

4

=1  ②；
觀察①②兩式可知，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直線

x0x

9

+

y0y

4

=1上；
∴直線AB的方程為：

x0x

9

+

y0y

4

=1；
又x₀-y₀-4=0；
∴y₀=x₀-4，帶入直線AB的方程得，x₀（4x+9y）-36（y+1）=0；
∴解

4x+9y=0 y+1=0

得

x= 9 4 y=-1

；
∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(

9

4

，-1)．

點(diǎn)評(píng)：考查橢圓的切線方程，以及點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程的關(guān)系，對(duì)于直線所恒過(guò)定點(diǎn)的求法．