Question

（本小題滿分12分）已知四棱錐中平面，

且，底面為直角梯形，

分別是的中點(diǎn)．

（1）求證：// 平面；

（2）求截面與底面所成二面角的大��；

（3）求點(diǎn)到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）只需證//平面；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，

由，分別是的中點(diǎn)，

可得：

，

∴，………2分  

設(shè)平面的的法向量為，

則有：

令，則，      ……………3分

∴，又平面

∴//平面                              ……………4分

（2）設(shè)平面的的法向量為，又

則有：

令，則，        …………6分

又為平面的法向量，∴，又截面與底面所成二面角為銳二面角，

∴截面與底面所成二面角的大小為        …………8分

（3）∵，

∴所求的距離…12分

考點(diǎn)：線面垂直的性質(zhì)定理；線面平行的判定定理；二面角；點(diǎn)到面的距離。

點(diǎn)評(píng)：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點(diǎn)，而用向量法求解二面角無(wú)需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算即可，從而體現(xiàn)了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角； ②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小。