Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx+ ﹣2lna﹣k
（1）若k=0，證明f（x）＞0
（2）若f（x）≥0，求k的取值范圍；并證明此時f（x）的極值存在且與a無關(guān)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若k=0，f′（x）= ﹣ = ，

x∈（0， ），f′（x）≥0，f（x）遞減，

x∈[ ，+∞）時，f′（x）≤0，f（x）遞增，

故f（x）min=f（ ）=2ln +2﹣2lna=2（1﹣ln2）＞0，得證

（2）證明：若f（x）=2lnx+ ﹣2lna﹣k ≥0，

變形得2ln + ≥k ，

令 =t（t＞0），得 ≥k，

g（t）= ，g′（t）= ，

令k（t）=t﹣tlnt﹣1，k′（t）=﹣lnt，

得k（t）=在（0，1]遞增，在（1，+∞）遞減，

故k（t）≤0，g′（t）≤0，

g（t）在（0，+∞）遞減，t→+∞，g（t）→0，

故g（t）＞0，k≤0，

下面證明f（x）的極值存在且與a無關(guān)，

①k=0，f′（x）= ，f（x）極小值=f（ ）=2ln +2﹣2lna=2（1﹣ln2）與a無關(guān)；

②k＜0，f′（x）= ，（其中x1= ＜0，x2= ＞0），

故x﹣x1＞0且f（x）在x2處取極小值，

f（x2）=2ln + ﹣k ，

∵x2= ，∴ = 是關(guān)于k的函數(shù)，（與a無關(guān)），

故f（x2）與a無關(guān)

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值證明結(jié)論即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為2ln + ≥k ，令 =t（t＞0），得 ≥k，令g（t）= ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．