Question

6．有一批貨物需要用汽車從生產(chǎn)商所在城市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過(guò)這兩條公路所用的時(shí)間互不影響．據(jù)調(diào)查統(tǒng)，通過(guò)這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時(shí)間的頻數(shù)分布如表：

所用的時(shí)間（天數(shù)）	10	11	12	13
通過(guò)公路l的頻數(shù)	20	40	20	20
通過(guò)公路2的頻數(shù)	10	40	40	10

假設(shè)汽車A只能在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)，汽車B只能在約定日期的前12天出發(fā)（將頻率視為概率）．
（I）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)將貨物運(yùn)往城市乙，估計(jì)汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路徑；
（Ⅱ）若通過(guò)公路l、公路2的“一次性費(fèi)用”分別為3.2萬(wàn)元、1.6萬(wàn)元（其他費(fèi)用忽略不計(jì)），此項(xiàng)費(fèi)用由生產(chǎn)商承擔(dān)．如果生產(chǎn)商恰能在約定日期當(dāng)天將貨物送到，則銷售商一次性支付給生產(chǎn)商40萬(wàn)元，若在約定日期前送到；每提前一天銷售商將多支付給生產(chǎn)商2萬(wàn)元；若在約定日期后送到，每遲到一天，生產(chǎn)商將支付給銷售商2萬(wàn)元．如果汽車A，B按（I）中所選路徑運(yùn)輸貨物，試比較哪輛汽車為生產(chǎn)商獲得的毛利潤(rùn)更大．

Answer 1

分析 （I）求出頻率分布表，計(jì)算汽車A在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運(yùn)往城市乙的概率；汽車B在約定日期（某月某日）的前12天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運(yùn)往城市乙的概率，即可得到結(jié)論；
（II）分別確定汽車A、B為生產(chǎn)商獲得毛利潤(rùn)的概率分布列，求出期望，比較期望值，即可得到結(jié)論．

解答 （I）頻率分布表，如下：

所用的時(shí)間（天數(shù)）	10	11	12	13
通過(guò)公路1的頻數(shù)	0.2	0.4	0.2	0.2
通過(guò)公路2的頻數(shù)	0.1	0.4	0.4	0.1

設(shè)A₁，A₂分別表示汽車A在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運(yùn)往城市乙；B₁，B₂分別表示汽車B在約定日期（某月某日）的前12天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運(yùn)往城市乙．
∵P（A₁）=0.2+0.4=0.6，P（A₂）=0.1+0.4=0.5，∴汽車A選擇公路1，
∵P（B₁）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，∴汽車A選擇公路2；
（II）設(shè)X表示汽車A選擇公路1，銷售商支付給生產(chǎn)商的費(fèi)用，則X=42，40，38，36
X的分布列如下：

X	42	40	38	36
P	0.2	0.4	0.2	0.2

∴E（X）=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2
∴汽車A選擇公路1時(shí)的毛利潤(rùn)為39.2-3.2=36.0（萬(wàn)元）
設(shè)Y為汽車B選擇公路2時(shí)的毛利潤(rùn)，則Y=42.4，40.4，38.4，36.4
分布列如下

Y	42.4	40.4	38.4	36.4
P	0.1	0.4	0.4	0.1

∴E（Y）=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4
∵36.0＜39.4，∴汽車B為生產(chǎn)商獲得毛利潤(rùn)更大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查比較兩個(gè)變量的期望值，得到最優(yōu)思路，是一個(gè)利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的題目，是一個(gè)綜合題．