Question

某中學(xué)從高中三個(gè)年級(jí)選派2名教師和10名學(xué)生去外�？疾鞂W(xué)習(xí)，學(xué)生的名額分配如下：

高一年級(jí)	高二年級(jí)	高三年級(jí)
3人	5人	2人

（1）若從10名學(xué)生中選出2人做組長(zhǎng)，求他們中恰好有1人是高二年級(jí)學(xué)生的概率；
（2）若將2名教師安排到三個(gè)年級(jí)（假設(shè)每名教師加入各年級(jí)是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨(dú)立的），記安排到高二年級(jí)的教師人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)“他們中恰好有1人是高二年級(jí)學(xué)生”為事件A，則事件A中含一名高二學(xué)生和一名非高二學(xué)生．由此能求出他們中恰好有1人是高二年級(jí)學(xué)生的概率．
（2）解法1：ξ的所有取值為0，1，2．由題意可知，每位教師選擇高二年級(jí)的概率均為

1

3

．分別求出P（ξ=0）；P（ξ=1）；P（ξ=2）．由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和Eξ．
解法2：由題意知，每位教師選擇高一年級(jí)的概率均為

1

3

，則ξ～B（2，

1

3

），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）設(shè)“他們中恰好有1人是高二年級(jí)學(xué)生”為事件A，
則P（A）=

C 1 5 • C 1 5

C 2 10

=

5

9

，
故所求概率為

5

9

．…（6分）
（2）解法1：ξ的所有取值為0，1，2．由題意可知，每位教師選擇高二年級(jí)的概率均為

1

3

．
所以P（ξ=0）=

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2=

4

9

；
P（ξ=1）=C

1 2

（

1

3

）（

2

3

）=

4

9

；
P（ξ=2）=

C

2 2

（

1

3

）²（

2

3

）⁰=

1

9

．…..（10分）
隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	4 9	4 9	1 9

∴Eξ=0×

4

9

+1×

4

9

+2×

1

9

=

2

3

．
解法2：由題意知，每位教師選擇高一年級(jí)的概率均為

1

3

，
則隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為2，

1

3

的二項(xiàng)分布，即ξ～B（2，

1

3

），
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	4 9	4 9	1 9

∴Eξ=np=2×

1

3

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識(shí)的合理運(yùn)用．