Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，△BCD為正三角形，AD=AB=2， ，AC與BD中心O點，將△ACD沿邊AC折起，使D點至P點，已知PO與平面ABCD所成的角為60°．
（1）求證：平面PAC⊥平面PDB；
（2）求已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵△BCD為正三角形，AD=AB=2，易知O為BD的中點，則AC⊥BD，

又PO平面PBD，所以AC⊥平面PBD，∵AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PD B．

（2）解：過P作DB的垂線，垂足為H，則PH垂直平面ABCD，∠PHO=60°，

以O(shè)B為x后，OC為y軸，過O垂直于平面ABC向上的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則A（0，﹣1，0）， ， ，

易知平面PBD的法向量為 ， ， ，

設(shè)平面ABP的法向量為 ，

則由 得 ，

取 ， ，

二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）易知O為BD的中點，則AC⊥BD，即AC⊥平面PBD，即平面PAC⊥平面PDB．（2）過P作DB的垂線，垂足為H，則PH垂直平面ABCD，∠PHO=60°，以O(shè)B為x后，OC為y軸，過O垂直于平面ABC向上的直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，利用向量法求解．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．