Question

在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若csinC-asinA=b（sinB-sinA），c=2．
（Ⅰ）若△ABC的面積為

2 3

3

，求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的周長為y，試求函數(shù)y=f（A）的定義域和最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理和已知等式，建立a和b的關(guān)系式，進(jìn)而求得cosC的值，則C的值可得，利用三角形的面積求得ab的值，最后聯(lián)立方程求得a和b．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的C的值和c的值，分別用角的正弦表示邊，相加表示出三角形的周長，利用兩角和公式整理后，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的定義域即最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵csinC-asinA=b（sinB-sinA），
∴c²-a²=b²-ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，①
∴C=

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

2 3

3

，
∴ab=

8

3

，②
聯(lián)立①②整理得9a⁴-60a²+64=0，
求得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

或a=

4 3

3

，b=

2 3

3

．
（Ⅱ）

a

sinA

=

c

sinC

=

4 3

3

，
∴a=

4 3

3

•sinA，
同理b=

4 3

3

sinB，
∴y=

4 3

3

（sinA+sinB）+2
=

4 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]+2
=

4 3

3

（

3

2

cosA+

3

2

sinA）+2=4sin（A+

π

6

）+2，
0＜A+

π

6

＜

2π

3

，
∴0＜A＜

π

2

，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，

π

2

），
當(dāng)sin（A+

π

6

）=1，即A=

π

3

時(shí)，函數(shù)取最大值1，
∴y的最大值為4+2=6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．解題的過程中還利用三角和公式進(jìn)行三角形的恒等變換．