Question

3．對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（I） 已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2bx-3a（a，b∈R），試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（II） 設(shè)f（x）=2^x+m-1是定義在[-1，2]上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（III） 設(shè)f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3，若f（x）不是定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I） 由已知中“局部奇函數(shù)”的定義，結(jié)合函數(shù)f（x）=ax²+2bx-3a，可得結(jié)論；
（II） 若f（x）=2^x+m-1是定義在[-1，2]上的“局部奇函數(shù)”，則2^-x+2^x+2m-2=0有解，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（III） 若f（x）是定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則f（-x）+f（x）=0有解，求出滿足條件的m的取值范圍后，再求其補(bǔ)集可得答案．

解答 解：（I）f（-x）+f（x）=0，則2ax²-6a=0得到$x=±\sqrt{3}$有解，
所以f（x）為局部奇函數(shù)．…（4分）
（II）由題可知2^-x+2^x+2m-2=0有解，$2-2m={2^x}+\frac{1}{2^x}$，…（6分）
設(shè)${2^x}=t∈[\frac{1}{2}，4]$，$t+\frac{1}{t}∈[2，\frac{17}{4}]$，所以$-\frac{17}{4}≤2m-2≤-2$，
所以$-\frac{9}{8}≤m≤0$．…8分
（III）若f（x）為局部奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0有解，
得4^x-m•2^x+1+m²-3+4^-x-m•2^-x+1+m²-3=0，
令2^x+2^-x=t≥2，
從而F（t）=t²-2mt+2m²-8=0在[2，+∞）有解．…（10分）
①F（2）≤0，即$1-\sqrt{3}≤m≤1+\sqrt{3}$；
②$\left\{{\begin{array}{l}{F（2）＞0}\\{△≥0}\\{m＞2}\end{array}}\right.$，即$1+\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{2}$，
綜上1-$\sqrt{3}$$≤m≤2\sqrt{2}$，…（11分）
故若f（x）不為局部奇函數(shù)時(shí)$m＜1-\sqrt{3}或m＞2\sqrt{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，正確理解新定義“局部奇函數(shù)”的定義，是解答的關(guān)鍵．