Question

10．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2bx+a，滿足f（x）=f（2-x），且方程f（x）-$\frac{3}{4}$a=0有兩個相等的實根．
（1）求函數(shù)f（x）的 解析式．
（2）當x∈[t，t+1]（t＞0）時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出二次函數(shù)的對稱軸，推出b，利用方程的根，求出a，然后求出函數(shù)的解析式．
（2）化簡函數(shù)的解析式，通過t的范圍，求解函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）由f（x）=f（2-x），可知函數(shù)的對稱軸方程為x=1，
而二次函數(shù)f（x）=x²-2bx+a的對稱軸是x=b，
所以，對稱軸：x=b=1，
由方程f（x）-$\frac{3}{4}$a=0有兩個相等的實根，即x²-2bx+$\frac{1}{4}$a=0可得：△=4-4×$\frac{1}{4}$a=0，解得a=4．
∴f（x）=x²-2x+4．   （5分）
（2）f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3．x∈[t，t+1]（t＞0）
①當t＜1＜t+1，即0＜t＜1時，y_min=f（1）=3；
②當t≥1時，y_min=f（t）=t²-2t+4；
綜上：函數(shù)f（x）的最小值g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{3，0＜t＜1}\\{{t}^{2}-2t+4，t≥1}\end{array}\right.$

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應用，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，函數(shù)的最值，考查計算能力．