Question

6．滿足不等式|x-A|＜B（B＞0，A∈R）的實數(shù)x的集合叫做A的B鄰域，若a+b-2的a+b鄰域是一個關(guān)于原點對稱的區(qū)間，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件求出-2＜x＜2（a+b）-2；再結(jié)合而鄰域是一個關(guān)于原點對稱的區(qū)間域得到a+b=2，再構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2-x}$+$\frac{4}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域．

解答 解：∵A的B鄰域在數(shù)軸上表示以A為中心，B為半徑的區(qū)域，
∴|x-（a+b-2）|＜a+b⇒-2＜x＜2（a+b）-2，
而鄰域是一個關(guān)于原點對稱的區(qū)間域，可得a+b-2=0⇒a=2-b．
$\frac{1}{a}+\frac{4}$=$\frac{1}{2-b}$+$\frac{4}$，
設(shè)f（x）=$\frac{1}{2-x}$+$\frac{4}{x}$，x≠0且x≠2
∴f′（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{-（x-4）（3x-4）}{（x-2）^{2}{x}^{2}}$
當(dāng)f′（x）＞0是，解得$\frac{4}{3}$＜x＜4，且x≠2，
當(dāng)f′（x）＜0是，解得x＜$\frac{4}{3}$或x＞4，且x≠0，
∴函數(shù)f（x）在（$\frac{4}{3}$，2），（2，4）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在（-∞，0），（0，$\frac{4}{3}$），（4，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=4時，函數(shù)有極大值，即f（4）=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時，函數(shù)有極小值，即f（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{9}{2}$，
∴f（x）的值域為$（-∞，\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．
故則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．

點評 本題主要考查了新定義的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的應(yīng)用，屬于中檔題