【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)圖象在點處的切線與的圖象相切,求的值;
(3)若函數(shù)存在兩個極值點,,且,求的最大值.
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為(2)或(3)
【解析】
(1)先對求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)大于0,求出在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間,導(dǎo)數(shù)小于0,在定義域內(nèi)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)由題意求出在處的切線方程,與函數(shù)聯(lián)立得關(guān)于的二次方程,用判別式等于求出的值;
(3)求的導(dǎo)數(shù),令,由題意得方程有兩個不等的實數(shù)根,求出兩根之和及兩根之積,且求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出的表達式用一個自變量表示,再構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)求出的最大值.
(1)的定義域為,,
由,有,由,有,
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)由(1)及題意,易得圖象在點處的切線斜率為,
則該切線方程為,
聯(lián)立,消去整理得:,
由解得或.
(3)∵,,,
設(shè),
由(1)知函數(shù)的兩個極值點,滿足,
則,,
不妨設(shè),則在上是減函數(shù),,
∴
令,則,
又,即,解得,
∴,∴.
設(shè),則,
∴在上為增函數(shù),
∴,即,
∴的最大值為.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形,是矩形,,,, ,為的中點.
(1)平面平面
(2)在線段上是否存在點,使二面角的大小為?若存在,求出的長度;若不存在,請說明理由.
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【題目】[選修4-4:極坐標與參數(shù)方程]
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(是參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若射線 與曲線交于,兩點,與曲線交于,兩點,求取最大值時的值
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【題目】一年之計在于春,一日之計在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對一塊地的個坑進行播種,每個坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進行補播種,否則要補播種.
(1)當取何值時,有3個坑要補播種的概率最大?最大概率為多少?
(2)當時,用表示要補播種的坑的個數(shù),求的分布列與數(shù)學期望.
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【題目】某快遞公司收取快遞費用的標準是:重量不超過的包裹收費10元;重量超過的包裹,除收費10元之外,超過的部分,每超出(不足,按計算)需要再收費5元.該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表).
(1)求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù);
(2)該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤,剩余的作為其他費用.已知公司前臺有工作人員3人,每人每天工資100元,以樣本估計總體,試估計該公司每天的利潤有多少元?
(3)小明打算將四件禮物隨機分成兩個包裹寄出,且每個包裹重量都不超過,求他支付的快遞費為45元的概率.
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【題目】如圖甲是某商店2018年(按360天計算)的日盈利額(單位:萬元)的統(tǒng)計圖.
(1)請計算出該商店2018年日盈利額的平均值(精確到0.1,單位:萬元):
(2)為了刺激消費者,該商店于2019年1月舉行有獎促銷活動,顧客凡購買一定金額的高品后均可參加抽獎.隨著抽獎活動的有效開展,參與抽獎活動的人數(shù)越來越多,該商店對前5天抽獎活動的人數(shù)進行統(tǒng)計如下表:(表示第天參加抽獎活動的人數(shù))
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
50 | 60 | 70 | 80 | 100 |
經(jīng)過進一步統(tǒng)計分析,發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系.
(。└鶕(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程:
(ⅱ)該商店采取轉(zhuǎn)盤方式進行抽獎(如圖乙),其中轉(zhuǎn)盤是個八等分的圓.每位顧客最多兩次抽獎機會,若第一次抽到獎,則抽獎終止,若第一次未抽到獎,則再提供一次抽獎機會.抽到一等獎的獎品價值128元,抽到二等獎的獎品價值32元.若該商店此次抽獎活動持續(xù)7天,試估計該商店在此次抽獎活動結(jié)束時共送出價值為多少元的獎品(精確到0.1,單位:萬元)?
(3)用(1)中的2018年日盈利額的平均值去估計當月(共31天)每天的日盈利額.若商店每天的固定支出約為1000元,促銷活動日的日盈利額比平常增加20%,則該商店當月的純利潤約為多少萬元?(精確到0.1,純利潤=盈利額-固定支出-抽獎總獎金數(shù))
參考公式及數(shù)據(jù):,,,.
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【題目】已知正項數(shù)列的前項和為,對任意,點都在函數(shù)的圖象上.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若數(shù)列,求數(shù)列的前項和;
(3)已知數(shù)列滿足,若對任意,存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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