Question

13．△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2（a²-b²）=2accosB+bc．
（1）求A的大小；
（2）若b+c=10，則△ABC的周長(zhǎng)L的最小值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理將已知的等式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，化簡(jiǎn)由余弦定理求出cosA，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A的值；
（2）由（1）和余弦定理表示出a，利用完全平方和公式化簡(jiǎn)后，由基本不等式求出a的范圍，結(jié)合條件即可求出△ABC的周長(zhǎng)L的最小值．

解答 解：（1）由題意得，2（a²-b²）=2accosB+bc，
在△ABC中，由余弦定理得，2（a²-b²）=2ac•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$+bc，
化簡(jiǎn)得a²-b²=c²+bc，即b²+c²-a²=-bc，
由余弦定理得，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵b+c=10，A=$\frac{2π}{3}$，
∴由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-bc
=100-bc≥100-${（\frac{b+c}{2}）}^{2}$=75，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴a≥5$\sqrt{3}$，
∵b+c=10，∴△ABC的周長(zhǎng)L的最小值是10+5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理的應(yīng)用：求值、邊角互化，以及基本不等式求最值問(wèn)題，考查化簡(jiǎn)、變形能力，整體思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．