Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

3

，左頂點(diǎn)為（-1，0）．
（1）求雙曲線方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x²+y²=5上，求m的值和線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）依題意e=

3

，a=1，故c=

3

，所以b²=2，由此能求出雙曲線方程．
（2）由

x2- y2 2 =1 x-y+m=0

，得x²-2mx-m²-2=0，故

x1+x2=2m x1x2=-m2-2

，中點(diǎn)在直線x-y+m=0上，所以可得中點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m），由此能求出m的值和線段AB的長(zhǎng)．．

解答：解：（1）依題意e=

3

，a=1，
∴c=

3

，
所以b²=2（2分）
所以雙曲線方程為x2-

y2

2

=1（4分）
（2）由

x2- y2 2 =1 x-y+m=0

，
得x²-2mx-m²-2=0，（6分）
∴

x1+x2=2m x1x2=-m2-2

，
又∵中點(diǎn)在直線x-y+m=0上，
所以中點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m），
代入x²+y²=5得m=±1（8分）
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法和計(jì)算弦長(zhǎng)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)條件中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．